小學課程標准中關於數形結合

1. 如何在初中函數教學中體現新課標思想

一、初中數學函數及數形結合思想概述
（一）初中數學函數問題
函數是數學領域中的一種關系，是通過一種數理關系確定兩種元素的聯系，從而使每一個輸入值都有一個不同的輸出值，從而形成一種對應關系。在函數的表示中，一般用表示輸入值，然後用表示輸出值。簡而言之，初中數學的函數問題包含了一次函數、二次函數、反比例函數、銳角三角函數幾部分的內容。這些數學知識不僅是解決所有函數問題的開端，也是今後學生進行函數學習的基礎；大而言之，函數貫穿了整個中學的數學教學與學習，具體內容涵蓋了七年級的方程、整式、平面直角坐標系等知識，八年級的一次函數，九年級的二次函數和反比例函數，再到後來的銳角三角函數。其中，最為關鍵的還是函數基礎知識的學習。如果基礎知識掌握得不扎實，則勢必會導致後來的教學難以為繼。就二次函數而言，就包含了圖象及其性質、、對稱軸、頂點、圖形變換等等，許多初中學生「談『函數』而色變」的說法一點兒也不為過。新課標對初中數學提出了更高的標准，要求初中教師要注重對學生數學綜合能力的培養，因而提高初中函數教學的能力目標更是迫在眉睫。
（二）數形結合思想概述
所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想。數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助於把握數學問題的本質。將代數關系以圖象的方式呈現出來，體現出了數學的嚴謹性，使得數與形能夠結合起來，進行靈活轉換，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大優化了解題過程。只要將歷年的中考題大致翻閱一下，便能發現諸多的初中數學函數題目，而且數形結合廣泛地存在於初中數學知識之中，可以利用函數圖形進行定性分析，簡化解題，並且巧妙地運用數形結合，使抽象表述變得增加具體，以達到事半功倍的效果。
二、數形結合在初中數學教育教學中的運用
（一）數形結合思想的導入、展開和升華
數形結合的思想能夠在初中數學教學發揮出事半功倍的效果，其關鍵環節在於教師如何將之運用到初中數學的教學之中。這就需要教師進行巧妙的導入，而不能到了函數教學的「陣前」才進行數形結合思想的導入。如教師在講解正負數的時候，就可以將數軸引入到課堂教學之中，而且在整數、分數以及絕對值的講解之時也加入了數形結合的思想了。
事實上，數形結合知識的引入可以在上面的數學知識學習中進行，但是要對其進行進一步地展開，則是在方程知識的教學之中。運用數形結合的思維，使方程（組）求解的過程得以簡化。此外，對初中數學中出現的追趕、行程等問題，都可以用數形結合的方式來解題，並且配合圖形來描述數學問題，降低初中學生的數學理解難度。數形結合的一個重要表現是以直觀的圖形來掌握這個圖形規律，並能夠做到舉一反三、融合貫通。事實上，數形結合思想還存在於多種初中數學知識之中，如「銳角三角函數」的解析等都會用到數形結合的辦法來解決。

（二）一次函數與二次函數的問題
數形結合在初中數學一次函數、二次函數教學中運用的最多的，而且也是中數學中最為常見的內容。在一次函數、二次函數的教學中，教師一定要將函數圖形與數學知識結合起來，將圖形與函數解析式結合在一起，從而使得數形結合的直觀性特點充分顯現出來。對一次函數的數形結合來說，要注意一般形式（）中的和；而二次函數則要注意頂點、開口、對稱軸這三個要素，講清楚平移、變形與解析式之間的關系。
對一次函數、二次函數教學，尤其是應用題的講解來說，一定要從基礎教學開始，將知識點的運用與串講結合起來。串講要注意基礎知識精講與運用的結合，因為扎實的基礎是應用的保證，也是解題優化的關鍵。例如，在講解二次函數圖象經過某幾點，求解析式問題的時候，出題人一般都會在這個基礎上增加一些相對較難的問題，如與直線、特殊三角形、特殊四邊形的結合等等。解決這些問題，必須要利用數形結合，畫出示意圖來幫助分析，使解題過程得以優化。
（三）銳角三角函數的問題
數形結合與銳角三角函數的關系極為密切。對於銳角三角函數來講，一定要充分地展示其仰角、俯角、坡度和坡角等基礎概念。這些概念是後來學習的基礎，必須要讓每個學生都能畫出示意圖，將概念與圖形結合起來掌握，這樣才能解決銳角三角函數中的實際問題。
對正弦、餘弦、正切概念的理解更要通過圖形來理解，將三角形的變化與數值的變化結合起來，在運算的過程中，弄清數形結合的本質，在具體講解的時候，要注意以下幾點：（1）銳角三角函數問題必須與實際問題相結合，仔細地理解題目，通過圖形的變化的過程來具體的理解銳角三角函數的改變與題目的要求，將已知與未知條件在題目中進行標注；（2）通過已知和未知條件來構建直角三角形或銳角三角函數，使得抽象問題得以直觀化；（3）熟練地運用直角三角形的性質進行解題，以函數的性質來對具體的問題講解，通過直角三角函數問題的輔助線轉化來進行具體問題的解決。
（四）綜合問題
初中函數知識之所以是重難點，不僅僅在於函數知識本身，更為重要的是用以解決綜合問題。函數可以與初中數學的任何一個知識點發生聯系，如一次函數、反比例函數、二次函數，還有幾何中的三角形、四邊形、圓等知識，與這些知識的結合使其作為中考壓軸題出現在中考試卷之中，而且這些題目都具有分值高、難度大的特點。函數圖象的幾何特徵與數量特徵緊密結合，體現了數形結合的特徵與方法。因此在初中數學函數教學中，尤其是二次函數的教學，一定要將圖形與解析式結合起來，弄清楚圖形與方程根之間的關系，弄清楚二次函數與不等式結合的運用。尤其是在幾何問題中，一定要注意幾何圖形與函數圖形的結合，從概念入手，使解題的思路更為清晰，使數形結合的理念在解題運用中得以成為可能。
三、充分運用多媒體手段來輔助進行數學教學
傳統的初中數學教學對數形結合的呈現主要是通過教師板書來實現的，這在教學中將會佔用大量的課堂時間，在一定的程度上會影響教學進度及教學效果。隨著信息技術的發展，多媒體技術的運用使其運用方便了很多，更具直觀形象化。在具體的教學中，教師應該通過課件的展示給學生，如可以採用動態的圖象來進行，從而使得內容呈現的更為直觀，學生能夠更好地掌握數學知識。
結語：數形結合是一個極為復雜的思想，對於不同類型的題目應該區別對待。具體的解題方式與解題步驟只是數學結合運用過程中的一個表現而已，但卻能夠極大地提高初中學生的數學學習能力。值得指出的是，數形結合思想的內化是一個需要長時間訓練才能解決的問題。

2. 怎樣將數學思想和方法應用到初中數學教學中

一、數學思想方法在初中數學教學中的重要性
在《初中數學課程標准》的總體目標中，明確地提出了：「通過義務教育階段的數學學習，學生應能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能」。新課程把基本的數學思想方法作為基礎知識的重要組成部分，在數學課程標准中明確地提出來，這不僅是課程標准體現義務教育性質的重要表現，也是對學生實施創新教育、培養創新思維的重要保證。
什麼是數學思想方法？數學思想是對數學知識和方法本質的認識，是解決數學問題的根本策略，它直接支配著數學的實踐活動；數學方法是解決問題的手段和工具，是解決數學問題時的程序、途徑，它是實施數學思想的技術手段。數學思想帶有理論性特徵，而數學方法具有實踐性的特點，數學問題的解決離不開以數學思想為指導，以數學方法為手段。數學思想方法是從數學內容中提煉出來的數學學科的精髓，是數學素養的重要內容之一，數學思想方法揭示了概念、原理、規律的本質，是溝通基礎與能力的橋梁。
在初中數學教學中，常見的數學思想有：轉化思想、方程思想、數形結合思想、分類討論思想等等；常見的數學方法有：待定系數法、配方法、換元法、分析法、綜合法、類比法等等。
在初中數學教學中，滲透數學思想方法，可以克服就題論題，死套模式，數學思想方法可以幫助我們加強思路分析，尋求已知和未知的聯系，提高分析解決問題的能力，從而使思維品質和能力有所提高。提高學生的數學素質、必須緊緊抓住數學思想方法這一重要環節，因為數學思想方法是提高學生的數學思維能力和數學素養的重要保障。
在初中數學教材中集中了大量的優秀例題和習題，它們所體現的數學知識和數學方法固然重要，但其蘊涵的數學思想卻更顯重要，作為初中數學教師，要善於挖掘例題、習題的潛在功能。在初中數學教學中，教師應向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助學生在自主探索和合作交流的過程中，真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。學生只有領會了數學思想方法，才能有效地應用知識，形成能力，從而為解決數學問題、進行數學思維起到很好的促進作用。因此，在初中數學教學中，教師必須重視對學生進行數學思想方法的滲透與培養。
二、幾種常見的數學思想方法在初中數學教學中的應用
（一）滲透轉化思想，提高學生分析解決問題的能力
所謂「轉化思想」是指把待解決或未解決的問題，通過轉化，歸結到已經解決或比較容易解決的問題中去，最終使問題得到解決的一種思想方法。轉化思想是初中數學中常見的一種數學思想，它的應用十分廣泛，我們在數學學習過程中，常常把復雜的問題轉化為簡單的問題，把生疏的問題轉化為熟悉的問題。數學問題的解決過程就是一系列轉化的過程，轉化是化繁為簡，化難為易，化未知為已知的有力手段，是解決問題的一種最基本的思想，對提高學生分析解決問題的能力有積極的促進作用。
我們對轉化思想並不陌生，中學數學中常用的化高次為低次、化多元為一元，都是轉化思想的體現。在具體內容上，有加減法的轉化、乘除法的轉化、乘方與開方的轉化、數形轉化等等。例如：初中數學「有理數的減法」和「有理數的除法」這兩節教學內容中，教材是通過「議一議」的形式，使學生在自主探究和合作交流的過程中，經歷把有理數的減法轉化為加法、把有理數的除法轉化為乘法的過程，「減去一個數等於加上這個數的相反數」，「除以一個數等於乘以這個數的倒數」，這個地方雖然很簡單，但卻充分體現了把「沒有學過的知識」轉化為「已經學過的知識」來加以解決，學生一旦掌握了這種解決問題的策略，今後無論遇到多麼難、多麼復雜的問題，都會自然而然地想到把「不會的」轉化為「會的」、「已經掌握的」知識來加以解決，這符合學生原有認知規律，作為教師，我們不能因為簡單而忽視它的教學，實踐告訴我們，往往是越簡單、越淺顯的例子，越能引起學生的認同，所以我們不能錯過這一絕佳的提高學生的思維品質的機會。
再如北京市義務教育課程改革實驗教材數學第13冊第4章中《對圖形的認識》，它實際上是「空間與圖形」的最基本部分。教材在編排設計上是圍繞認識基本幾何體、發展學生空間觀念展開的，在過程上是讓學生經歷圖形的變化、展開與折疊等數學活動過程的，在活動中引導學生認識常見的幾何體以及點、線、面和一些簡單的平面圖形，通過對某些幾何體的主視圖、俯視圖、左視圖的認識，在平面圖形與立體圖形的轉化中發展學生的空間觀念。在授課過程中要特別注意圖形的轉化思想的滲透，在實際操作中，因為大部分學生在小學時就積累一定的感性處理方法，我們要注意的就是在學生原有知識結構的基礎上，將其上升為理論高度，引導學生歸納概括得出一般性的結論：在初中階段，絕大部分立體圖形的問題都可以轉化為平面圖形的問題，從而使學生真正體會到立體與平面的相互轉化思想。
又如在解方程組時，通過消元這個手段，把二元一次方程組轉化為一元一次方程去解；在解多邊形問題時，又是通過添加輔助線這個手段，把多邊形的問題轉化為三角形的問題加以解決等等。數學中的有理數和無理數、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和變數、整體和局部等處處都蘊涵著轉化這一辯證思想。因此，在初中數學教學中，應有意識地滲透轉化思想。如在學習分式方程時，不能只簡單介紹分式方程的概念和解法，教學時，應讓學生充分經歷整式方程與分式方程的觀察、比較、分析、探索過程，啟發學生說出分式方程的解題基本思想，學生在經歷了充分的探索後，自然認識到：通過把分式方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，就可以把分式方程轉化為整式方程，學生感悟到分式方程與整式方程概念和解法的實質後，會收到一種居高臨下，深入淺出的教學效果。因此，在初中數學教學中，要注重滲透轉化思想，可以說轉化思想是科學世界觀在數學中的體現，是最重要的數學思想之一，不僅可以培養學生的科學意識，而且可以提高學生的觀察能力、探索能力和分析解決問題的能力。
（二）滲透數形結合的思想方法，提高學生的數形轉化能力和遷移思維的能力
恩格斯曾說過：「純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系」。而「數」和「形」是數學中兩個最基本的概念。「數」是數量關系的體現，而「形」則是空間形式的體現。它們兩者既有對立的一面，又有統一的一面。我們在研究數量關系時，有時要藉助於圖形直觀地去研究，而在研究圖形時，又常常藉助於線段或角的數量關系去探求。數形結合思想是指將數與圖形結合起來解決問題的一種思維方式。數和式是問題的抽象和概括、圖形和圖像是問題的具體和直觀的反映。因此，數和形是研究數學的兩個側面，利用數形結合，常常可以使所要研究的問題化難為易，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化。正如著名數學家華羅庚所說的那樣：「數無形，少直觀，形無數，難入微」，這句話闡明了數形結合思想的重要意義。
在初中代數列方程解應用題教學中，很多例題都採用了圖示法進行分析，在教學過程中要充分利用圖形的直觀性和具體性，引導學生從圖形上發現數量關系，找出解決問題的突破口，學生掌握了數形結合這一思想要比掌握一個公式或一種具體方法更有價值，對解決問題更具有指導意義。
又如，計算：1+3=？1+3+5=？1+3+5+7=？1+3+5+7+9=？並根據計算結果，探索規律。
數學思想方法與初中數學教學
在這道題的教學中，首先應讓學生思考：從上面這些算式中你能發現什麼？讓學生經歷觀察（每個算式和結果的特點）、比較（不同算式之間的異同），歸納（可能具有的規律）、提出猜想的過程。在探索過程中鼓勵學生進行相互合作交流，提供如下的幫助：列出一個點陣，用圖形的直觀來幫助學生進行猜想。這就是典型的把數量關系問題轉化到圖形中來完成的題型，充分體現了數形結合思想。
再如在講「圓與圓的位置關系」時，可自製圓形紙板，進行運動實驗，讓學生首先從形的角度認識圓與圓的位置關系，然後可激發學生積極主動探索：兩圓的位置關系反映到數上有何特徵？這種藉助於形通過數的運算推理研究問題的數形結合思想，在教學中要不失時機地滲透，這樣不僅可以提高學生的遷移思維能力，還可以培養學生的數形轉換能力和多角度思考問題的習慣。
此外，數學教學中，我們正是藉助數形結合的載體——數軸，學習研究了數與點的對應關系，相反數、絕對值的定義，有理數大小比較的法則等，利用數形結合思想大大減少了引進這些概念的難度。數形結合思想的滲透不能簡單的通過解題來實現和灌輸，應該落實在課堂教學的學習探索過程中，我在講「相反數」這節課時，首先提出問題：「在上體育課時，體育李老師請小明和小強分別站在李老師的左右兩邊（三人在同一條直線上），並與李老師相距1米。你能說出小明、小強與李老師的位置關系有什麼相同點和不同點嗎？如果李老師所站的位置是數軸的原點，你能把小明、小強所站的位置用數軸上的點A、B表示出來嗎？它們在數軸上的位置有什麼關系？」
數學思想方法與初中數學教學
讓學生動手實踐，在數軸上分別確定表示這些數的點。 觀察並思考：這些點在位置上有怎樣的特徵。引導學生歸納總結，形成相反數的概念，在此基礎上繼續提出問題：若兩個數互為相反數，從「數、形」的角度看，它們有什麼相同點和不同點呢？學生思考得到：從「數」的角度看：若兩個數互為相反數，則只有符號不同。教師強調：只有、兩個、互為。從「形」的角度看：相同點是它們到原點的距離相等；不同點是兩個點分別在數軸原點的兩側。之後，我進一步引導學生觀察數軸，是否所有的相反數都成對出現？有特殊的嗎？學生通過討論得出：除0以外，相反數是成對出現的。本節課藉助數軸，幫助學生理解相反數的概念，進一步滲透數形結合的思想。教學中，從學生身邊的生活實例入手，先從互為相反數的兩數在數軸上的特徵，即它們分別位於原點的兩旁，且與原點距離相等的實例出發，讓學生帶著問題觀察數軸上的點，鼓勵學生用自己的語言說出猜想，揭示這兩數的幾何形象。充分利用計算機課件的直觀性幫助學生驗證猜想，增強對相反數概念的感性認識，充分利用數軸幫助思考，把一個抽象的相反數的概念，化為直觀的幾何形象。在這種情況下給出互為相反數的定義：只有符號不同的兩個數稱互為相反數。特別地規定：0的相反數是0。學生從「數」和「形」兩個方面認識相反數概念的本質特徵，體會數形結合的思想，顯得自然親切，水到渠成，同時也讓學生在數形結合的思想方法的引領下感受到了成功，初步領略和嘗試了它的功用，是一個非常好的滲透背景。