考試成績冪律分布

A. 冪律分布的應用

實際上,冪律分布廣抄泛存在於物襲理學、地球與行星科學、計算機科學、生物學、生態學、人口統計學與社會科學、經濟與金融學等眾多領域中,且表現形式多種多樣. 在自然界與日常生活中,包括地震規模大小的分布 (古登堡2里希特定律) 、月球表面上月坑直徑的分布、行星間碎片大小的分布 、太陽耀斑強度的分布 、計算機文件大小的分布 、戰爭規模的分布 、人類語言中單詞頻率的分布 、大多數國家姓氏的分布 、科學家撰寫的論文數的分布、論文被引用的次數的分布、網頁被點擊次數的分布 、書籍及唱片的銷售冊數或張數的分布、每類生物中物種數的分布、甚至電影所獲得的奧斯卡獎項數的分布等,都是典型的冪律分布。

B. 如何用Python函數生成冪律分布

冪律分布Aaron Clauset寫的程序好棒，也可以參考這個網址：blog.163.com/q_qpm/blog/static/21453814420132385755749/
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C. 如何證明冪律分布的累計概率分布函數是凸函數

最小值小於等於z的反面是所有值大於z，一個X值大於等於z的概率是1-F（z），n個X都大於等於z的概率就是它的n次方。

D. 指數截尾的冪律分布和冪律分布的區別

你說的是具來有指數截斷(exponential cutoff)的冪律源分布吧？正常的冪律分布中f(x)正比於x^(-λ)，在對數尺度坐標軸下是一條直線，而指數結尾的冪律分布的密度函數為f(x)正比於x^(-λ)*exp(-kx)，即多了一個因子exp(-kx)，在對數坐標軸下，圖象的斜率由小逐漸增大(普通冪律分布是一條斜率固定的直線)。研究發現人類的很多行為其實是符合具有指數截斷的冪律分布的。你可以參考這個文檔中的圖像：
http://wenku..com/view/f0b4402b2af90242a895e5c4.html
希望對你有所幫助。

E. 什麼是冪律分布

自然界與社會生活中存在各種各樣性質迥異的冪律分布現象。
1932年,哈佛大學的語言學專家在研究英文單詞出現的頻率時,發現如果把單詞出現的頻率按由大到小的順序排列,則每個單詞出現的頻率與它的名次的常數次冪存在簡單的反比關系，這種分布就稱為Zipf定律,它表明在英語單詞中,只有極少數的詞被經常使用,而絕大多數詞很少被使用.實際上,包括漢語在內的許多國家的語言都有這種特點。
19世紀的義大利經濟學家Pareto研究了個人收入的統計分布,發現少數人的收入要遠多於大多數人的收入,提出了著名的80/20法則,即20%的人口占據了80%的社會財富.個人收入X不小於某個特定值x的概率與x的常數次冪亦存在簡單的反比關系，即為Pareto定律。
Zipf定律與Pareto定律都是簡單的冪函數,我們稱之為冪律分布;還有其它形式的冪律分布,像名次—規模分布,規模—概率分布,這四種形式在數學上是等價的。
冪律分布表現為一條斜率為冪指數的負數的直線,這一線性關系是判斷給定的實例中隨機變數是否滿足冪律的依據。
實際上,冪律分布廣泛存在於物理學,地球與行星科學,計算機科學,生物學,生態學,人口統計學與社會科學,經濟與金融學等眾多領域中,且表現形式多種多樣.在自然界與日常生
活中,包括地震規模大小的分布(古登堡-里希特定律),月球表面上月坑直徑的分布,行星間碎片大小的分布,太陽耀斑強度的分布,計算機文件大小的分布,戰爭規模的分布,人類語言中單詞頻率的分布,大多數國家姓氏的分布,科學家撰寫的論文數的分布,論文被引用的次數的分布,網頁被點擊次數的分布,書籍及唱片的銷售冊數或張數的分布,每類生物中物種數的分布,甚至電影所獲得的奧斯卡獎項數的分布等,都是典型的冪律分布。 以網頁被點擊次數的分布為例,盡管中國向七千九百萬網民提供的網站接近六十萬個,但只有為數不多的網站,才擁有網民一次訪問難以窮盡的豐富內容,擁有接納許多人同時訪問的足夠帶寬,進而有條件演化成熱門網站,擁有極高的點擊率,像新浪,搜狐,網易等門戶網站。網頁被點擊次數的冪律分布其冪指數在0.60-1.03之間,而網站訪問量的冪律分布其冪指數則接近1。
統計物理學家習慣於把服從冪律分布的現象稱為無標度現象,即,系統中個體的尺度相差懸殊,缺乏一個優選的規模。可以說,凡有生命的地方,有進化,有競爭的地方都會出現
不同程度的無標度現象。

F. 日常生活中還存在著哪些符合冪律分布的現象

冪律分布的現象
1.1932年,哈佛大學的語言學專家Zipf在研究英文單詞出現內的頻率時,發現如果把容單詞出現的頻率按由大到小的順序排列,則每個單詞出現的頻率與它的名次的常數次冪存在簡單的反比關系，這種分布就稱為Zipf定律,它表明在英語單詞中,只有極少數的詞被經常使用,而絕大多數詞很少被使用。
2.19世紀的義大利經濟學家Pareto研究了個人收入的統計分布,發現少數人的收入要遠多於大多數人的收入,提出了著名的80/20法則,即20%的人口占據了80%的社會財富。個人收入X不小於某個特定值x的概率與x的常數次冪亦存在簡單的反比關系，即為Pareto定律。

G. 冪律的冪律分布現象

自然界與社會生活中存在各種各樣性質迥異的冪律分布現象。
英文單詞
1932年,哈佛大學的語言學專家Zipf在研究英文單詞出現的頻率時,發現如果把單詞出現的頻率按由大到小的順序排列,則每個單詞出現的頻率與它的名次的常數次冪存在簡單的反比關系，這種分布就稱為Zipf定律,它表明在英語單詞中,只有極少數的詞被經常使用,而絕大多數詞很少被使用.實際上,包括漢語在內的許多國家的語言都有這種特點。
個人收入
19世紀的義大利經濟學家Pareto研究了個人收入的統計分布,發現少數人的收入要遠多於大多數人的收入,提出了著名的80/20法則,即20%的人口占據了80%的社會財富.個人收入X不小於某個特定值x的概率與x的常數次冪亦存在簡單的反比關系，即為Pareto定律。
其他形式
Zipf定律與Pareto定律都是簡單的冪函數,我們稱之為冪律分布;還有其它形式的冪律分布,像名次—規模分布,規模—概率分布,這四種形式在數學上是等價的。
冪律分布表現為一條斜率為冪指數的負數的直線,這一線性關系是判斷給定的實例中隨機變數是否滿足冪律的依據。
實際上,冪律分布廣泛存在於物理學、地球與行星科學、計算機科學、生物學、生態學、人口統計學與社會科學,經濟與金融學等眾多領域中,且表現形式多種多樣。在自然界與日常生活中,包括地震規模大小的分布(古登堡-里希特定律),月球表面上月坑直徑的分布,行星間碎片大小的分布,太陽耀斑強度的分布,計算機文件大小的分布,戰爭規模的分布,人類語言中單詞頻率的分布,大多數國家姓氏的分布,科學家撰寫的論文數的分布,論文被引用的次數的分布,網頁被點擊次數的分布,書籍及唱片的銷售冊數或張數的分布,每類生物中物種數的分布,甚至電影所獲得的奧斯卡獎項數的分布等,都是典型的冪律分布。 以網頁被點擊次數的分布為例,盡管中國向七千九百萬網民提供的網站接近六十萬個,但只有為數不多的網站,才擁有網民一次訪問難以窮盡的豐富內容,擁有接納許多人同時訪問的足夠帶寬,進而有條件演化成熱門網站,擁有極高的點擊率,像新浪、搜狐、網易等門戶網站。網頁被點擊次數的冪律分布其冪指數在0.60-1.03之間,而網站訪問量的冪律分布其冪指數則接近1。克里斯·安德森的「長尾理論」即是冪律的口語化表達。
統計物理學家習慣於把服從冪律分布的現象稱為無標度現象,即系統中個體的尺度相差懸殊,缺乏一個優選的規模。凡有生命,有進化,有競爭的地方都會出現不同程度的無標度現象。

H. 幕律分布是怎麼回事

自然界與社會生活中存在各種各樣性質迥異的冪律分布現象。
1932年,哈佛大學的語言學專家Zipf在研究英文單詞出現的頻率時,發現如果把單詞出現的頻率按由大到小的順序排列,則每個單詞出現的頻率與它的名次的常數次冪存在簡單的反比關系，這種分布就稱為Zipf定律,它表明在英語單詞中,只有極少數的詞被經常使用,而絕大多數詞很少被使用.實際上,包括漢語在內的許多國家的語言都有這種特點。
19世紀的義大利經濟學家Pareto研究了個人收入的統計分布,發現少數人的收入要遠多於大多數人的收入,提出了著名的80/20法則,即20%的人口占據了80%的社會財富.個人收入X不小於某個特定值x的概率與x的常數次冪亦存在簡單的反比關系，即為Pareto定律。
Zipf定律與Pareto定律都是簡單的冪函數,我們稱之為冪律分布;還有其它形式的冪律分布,像名次-規模分布,規模-概率分布,這四種形式在數學上是等價的。
冪律分布表現為一條斜率為冪指數的負數的直線,這一線性關系是判斷給定的實例中隨機變數是否滿足冪律的依據。
實際上,冪律分布廣泛存在於物理學,地球與行星科學,計算機科學,生物學,生態學,人口統計學與社會科學,經濟與金融學等眾多領域中,且表現形式多種多樣.在自然界與日常生
活中,包括地震規模大小的分布(古登堡-里希特定律),月球表面上月坑直徑的分布,行星間碎片大小的分布,太陽耀斑強度的分布,計算機文件大小的分布,戰爭規模的分布,人類語言中單詞頻率的分布,大多數國家姓氏的分布,科學家撰寫的論文數的分布,論文被引用的次數的分布,網頁被點擊次數的分布,書籍及唱片的銷售冊數或張數的分布,每類生物中物種數的分布,甚至電影所獲得的奧斯卡獎項數的分布等,都是典型的冪律分布。 以網頁被點擊次數的分布為例,盡管中國向七千九百萬網民提供的網站接近六十萬個,但只有為數不多的網站,才擁有網民一次訪問難以窮盡的豐富內容,擁有接納許多人同時訪問的足夠帶寬,進而有條件演化成熱門網站,擁有極高的點擊率,像新浪,搜狐,網易等門戶網站。網頁被點擊次數的冪律分布其冪指數在0.60-1.03之間,而網站訪問量的冪律分布其冪指數則接近1。
統計物理學家習慣於把服從冪律分布的現象稱為無標度現象,即,系統中個體的尺度相差懸殊,缺乏一個優選的規模。可以說,凡有生命的地方,有進化,有競爭的地方都會出現
不同程度的無標度現象。

I. 冪律分布的示例

自然界與社會生活中,許多科學家感興趣的事件往往都有一個典型的規模,個體的尺度在這一特徵尺度附近變化很小. 比如說人的身高,中國成年男子的身高絕大多數都在平均值1.70m左右. 當然,地域不同這一數值會有一定的變化,但無論怎樣,我們從未在大街上見過身高低於10cm的「小矮人」,或高於10m的「巨人」. 如果我們以身高為橫坐標,以取得此身高的人數或概率為縱坐標,可繪出一條鍾形分布曲線,這種曲線兩邊衰減得極快;類似這樣以一個平均值就能表徵出整個群體特性的分布,我們稱之為泊松分布。另外一個我們要注意的是最高的人與最矮的人的身高之比,根據吉尼斯世界紀錄,世界上最高的人與最矮的人(均已去世)的身高分別是2. 72m和0. 57m,二者之比為4. 8,這個數值並不是很大,我們將在下文中證實。
對於另一些分布,像國家GDP或個人收入的分布,情況就大不一樣了,個體的尺度可以在很寬的范圍內變化,這種波動往往可以跨越多個數量級. 比如根據世界銀行的統計,最富有的國家—美國,其2003年GDP高達10, 881, 609, 000, 000美元(一個天文數字) ,而數據顯示同年GDP最低的國家—西非島國聖多美和普林西比,只有54, 000, 000美元,二者之比高達201511. 3. 個人收入分布亦是如此,想想世界首富比爾·蓋茨那高達465億美元的個人資產就清楚了. 國家或城市人口的分布也會出現類似的情形. 據世界銀行的統計, 2003年人口最多的國家—中國,總人口數多達1, 288, 400,000,而數據顯示同年人口最少的國家—西太平洋上的帛琉群島,人口數僅為20, 000 (不及中國一個普通縣城的人口數) ,二者之比有64420之多。 以收入或人口數為橫坐標,以不低於該收入值或人口數的個體數或概率為縱坐標,可繪出一條向右偏斜得很厲害,拖著長長「尾巴」的累積分布曲線 ,它與鍾形的泊松分布曲線有顯著的不同. 這種「長尾」分布表明,絕大多數個體的尺度很小,而只有少數個體的尺度相當大,像國家人口,全世界有224個國家和地區,只有11個國家的人口數超過一億。
對「長尾」分布研究做出重要貢獻的是Zipf和Pareto ,雖然他們並不是這種分布的最早發現者.1932年,哈佛大學的語言學專家Zipf在研究英文單詞出現的頻率時,發現如果把單詞出現的頻率按由大到小的順序排列,則每個單詞出現的頻率與它的名次的常數次冪存在簡單的反比關系: P ( r) ～r-α ,這種分布就稱為Zipf定律,它表明在英語單詞中,只有極少數的詞被經常使用,而絕大多數詞很少被使用. 實際上,包括漢語在內的許多國家的語言都有這種特點. 物理世界在相當程度上是具有惰性的,動態過程總能找到能量消耗最少的途徑,人類的語言經過千萬年的演化,最終也具有了這種特性,詞頻的差異有助於使用較少的詞彙表達盡可能多的語義,符合「最小努力原則」. 分形幾何學的創始人Mandelbrot對Zipf定律進行了修訂,增加了幾個參數,使其更符合實際的情形。
19世紀的義大利經濟學家Pareto研究了個人收入的統計分布,發現少數人的收入要遠多於大多數人的收入,提出了著名的80/20 法則,即20%的人口占據了80%的社會財富. 個人收入X 不小於某個特定值x的概率與x的常數次冪亦存在簡單的反比關系: P [X ≥x ]～x - k ,此式即為Pareto定律(帕累托定律)。
Zipf定律與Pareto定律都是簡單的冪函數,我們稱之為冪律分布;還有其他形式的冪律分布,像名次- 規模分布、規模- 概率分布,這四種形式在數學上是等價的,其通式可寫成y = cx^(-r),其中x, y是正的隨機變數,c, r均為大於零的常數. 這種分布的共性是絕大多數事件的規模很小,而只有少數事件的規模相當大. 對上式兩邊取對數,可知lny與lnx滿足線性關系lny= lnc - rlnx,也即在雙對數坐標下,冪律分布表現為一條斜率為冪指數的負數的直線,這一線性關系是判斷給定的實例中隨機變數是否滿足冪律的依據。
判斷兩個隨機變數是否滿足線性關系,可以求解兩者之間的相關系數;利用一元線性回歸模型和最小二乘法,可得lny對lnx的經驗回歸直線方程,從而得到y與x之間的冪律關系式.在雙對數坐標下的圖形,由於某些因素的影響,前半部分的線性特性並不是很強,而在後半部分,則近乎為一直線,其斜率的負數就是冪指數。