小学课程标准中关于数形结合

1. 如何在初中函数教学中体现新课标思想

一、初中数学函数及数形结合思想概述
（一）初中数学函数问题
函数是数学领域中的一种关系，是通过一种数理关系确定两种元素的联系，从而使每一个输入值都有一个不同的输出值，从而形成一种对应关系。在函数的表示中，一般用表示输入值，然后用表示输出值。简而言之，初中数学的函数问题包含了一次函数、二次函数、反比例函数、锐角三角函数几部分的内容。这些数学知识不仅是解决所有函数问题的开端，也是今后学生进行函数学习的基础；大而言之，函数贯穿了整个中学的数学教学与学习，具体内容涵盖了七年级的方程、整式、平面直角坐标系等知识，八年级的一次函数，九年级的二次函数和反比例函数，再到后来的锐角三角函数。其中，最为关键的还是函数基础知识的学习。如果基础知识掌握得不扎实，则势必会导致后来的教学难以为继。就二次函数而言，就包含了图象及其性质、、对称轴、顶点、图形变换等等，许多初中学生“谈‘函数’而色变”的说法一点儿也不为过。新课标对初中数学提出了更高的标准，要求初中教师要注重对学生数学综合能力的培养，因而提高初中函数教学的能力目标更是迫在眉睫。
（二）数形结合思想概述
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。将代数关系以图象的方式呈现出来，体现出了数学的严谨性，使得数与形能够结合起来，进行灵活转换，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大优化了解题过程。只要将历年的中考题大致翻阅一下，便能发现诸多的初中数学函数题目，而且数形结合广泛地存在于初中数学知识之中，可以利用函数图形进行定性分析，简化解题，并且巧妙地运用数形结合，使抽象表述变得增加具体，以达到事半功倍的效果。
二、数形结合在初中数学教育教学中的运用
（一）数形结合思想的导入、展开和升华
数形结合的思想能够在初中数学教学发挥出事半功倍的效果，其关键环节在于教师如何将之运用到初中数学的教学之中。这就需要教师进行巧妙的导入，而不能到了函数教学的“阵前”才进行数形结合思想的导入。如教师在讲解正负数的时候，就可以将数轴引入到课堂教学之中，而且在整数、分数以及绝对值的讲解之时也加入了数形结合的思想了。
事实上，数形结合知识的引入可以在上面的数学知识学习中进行，但是要对其进行进一步地展开，则是在方程知识的教学之中。运用数形结合的思维，使方程（组）求解的过程得以简化。此外，对初中数学中出现的追赶、行程等问题，都可以用数形结合的方式来解题，并且配合图形来描述数学问题，降低初中学生的数学理解难度。数形结合的一个重要表现是以直观的图形来掌握这个图形规律，并能够做到举一反三、融合贯通。事实上，数形结合思想还存在于多种初中数学知识之中，如“锐角三角函数”的解析等都会用到数形结合的办法来解决。

（二）一次函数与二次函数的问题
数形结合在初中数学一次函数、二次函数教学中运用的最多的，而且也是中数学中最为常见的内容。在一次函数、二次函数的教学中，教师一定要将函数图形与数学知识结合起来，将图形与函数解析式结合在一起，从而使得数形结合的直观性特点充分显现出来。对一次函数的数形结合来说，要注意一般形式（）中的和；而二次函数则要注意顶点、开口、对称轴这三个要素，讲清楚平移、变形与解析式之间的关系。
对一次函数、二次函数教学，尤其是应用题的讲解来说，一定要从基础教学开始，将知识点的运用与串讲结合起来。串讲要注意基础知识精讲与运用的结合，因为扎实的基础是应用的保证，也是解题优化的关键。例如，在讲解二次函数图象经过某几点，求解析式问题的时候，出题人一般都会在这个基础上增加一些相对较难的问题，如与直线、特殊三角形、特殊四边形的结合等等。解决这些问题，必须要利用数形结合，画出示意图来帮助分析，使解题过程得以优化。
（三）锐角三角函数的问题
数形结合与锐角三角函数的关系极为密切。对于锐角三角函数来讲，一定要充分地展示其仰角、俯角、坡度和坡角等基础概念。这些概念是后来学习的基础，必须要让每个学生都能画出示意图，将概念与图形结合起来掌握，这样才能解决锐角三角函数中的实际问题。
对正弦、余弦、正切概念的理解更要通过图形来理解，将三角形的变化与数值的变化结合起来，在运算的过程中，弄清数形结合的本质，在具体讲解的时候，要注意以下几点：（1）锐角三角函数问题必须与实际问题相结合，仔细地理解题目，通过图形的变化的过程来具体的理解锐角三角函数的改变与题目的要求，将已知与未知条件在题目中进行标注；（2）通过已知和未知条件来构建直角三角形或锐角三角函数，使得抽象问题得以直观化；（3）熟练地运用直角三角形的性质进行解题，以函数的性质来对具体的问题讲解，通过直角三角函数问题的辅助线转化来进行具体问题的解决。
（四）综合问题
初中函数知识之所以是重难点，不仅仅在于函数知识本身，更为重要的是用以解决综合问题。函数可以与初中数学的任何一个知识点发生联系，如一次函数、反比例函数、二次函数，还有几何中的三角形、四边形、圆等知识，与这些知识的结合使其作为中考压轴题出现在中考试卷之中，而且这些题目都具有分值高、难度大的特点。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。因此在初中数学函数教学中，尤其是二次函数的教学，一定要将图形与解析式结合起来，弄清楚图形与方程根之间的关系，弄清楚二次函数与不等式结合的运用。尤其是在几何问题中，一定要注意几何图形与函数图形的结合，从概念入手，使解题的思路更为清晰，使数形结合的理念在解题运用中得以成为可能。
三、充分运用多媒体手段来辅助进行数学教学
传统的初中数学教学对数形结合的呈现主要是通过教师板书来实现的，这在教学中将会占用大量的课堂时间，在一定的程度上会影响教学进度及教学效果。随着信息技术的发展，多媒体技术的运用使其运用方便了很多，更具直观形象化。在具体的教学中，教师应该通过课件的展示给学生，如可以采用动态的图象来进行，从而使得内容呈现的更为直观，学生能够更好地掌握数学知识。
结语：数形结合是一个极为复杂的思想，对于不同类型的题目应该区别对待。具体的解题方式与解题步骤只是数学结合运用过程中的一个表现而已，但却能够极大地提高初中学生的数学学习能力。值得指出的是，数形结合思想的内化是一个需要长时间训练才能解决的问题。

2. 怎样将数学思想和方法应用到初中数学教学中

一、数学思想方法在初中数学教学中的重要性
在《初中数学课程标准》的总体目标中，明确地提出了：“通过义务教育阶段的数学学习，学生应能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。新课程把基本的数学思想方法作为基础知识的重要组成部分，在数学课程标准中明确地提出来，这不仅是课程标准体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培养创新思维的重要保证。
什么是数学思想方法？数学思想是对数学知识和方法本质的认识，是解决数学问题的根本策略，它直接支配着数学的实践活动；数学方法是解决问题的手段和工具，是解决数学问题时的程序、途径，它是实施数学思想的技术手段。数学思想带有理论性特征，而数学方法具有实践性的特点，数学问题的解决离不开以数学思想为指导，以数学方法为手段。数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，数学思想方法揭示了概念、原理、规律的本质，是沟通基础与能力的桥梁。
在初中数学教学中，常见的数学思想有：转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等等；常见的数学方法有：待定系数法、配方法、换元法、分析法、综合法、类比法等等。
在初中数学教学中，渗透数学思想方法，可以克服就题论题，死套模式，数学思想方法可以帮助我们加强思路分析，寻求已知和未知的联系，提高分析解决问题的能力，从而使思维品质和能力有所提高。提高学生的数学素质、必须紧紧抓住数学思想方法这一重要环节，因为数学思想方法是提高学生的数学思维能力和数学素养的重要保障。
在初中数学教材中集中了大量的优秀例题和习题，它们所体现的数学知识和数学方法固然重要，但其蕴涵的数学思想却更显重要，作为初中数学教师，要善于挖掘例题、习题的潜在功能。在初中数学教学中，教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。因此，在初中数学教学中，教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。
二、几种常见的数学思想方法在初中数学教学中的应用
（一）渗透转化思想，提高学生分析解决问题的能力
所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在数学学习过程中，常常把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，转化是化繁为简，化难为易，化未知为已知的有力手段，是解决问题的一种最基本的思想，对提高学生分析解决问题的能力有积极的促进作用。
我们对转化思想并不陌生，中学数学中常用的化高次为低次、化多元为一元，都是转化思想的体现。在具体内容上，有加减法的转化、乘除法的转化、乘方与开方的转化、数形转化等等。例如：初中数学“有理数的减法”和“有理数的除法”这两节教学内容中，教材是通过“议一议”的形式，使学生在自主探究和合作交流的过程中，经历把有理数的减法转化为加法、把有理数的除法转化为乘法的过程，“减去一个数等于加上这个数的相反数”，“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，这个地方虽然很简单，但却充分体现了把“没有学过的知识”转化为“已经学过的知识”来加以解决，学生一旦掌握了这种解决问题的策略，今后无论遇到多么难、多么复杂的问题，都会自然而然地想到把“不会的”转化为“会的”、“已经掌握的”知识来加以解决，这符合学生原有认知规律，作为教师，我们不能因为简单而忽视它的教学，实践告诉我们，往往是越简单、越浅显的例子，越能引起学生的认同，所以我们不能错过这一绝佳的提高学生的思维品质的机会。
再如北京市义务教育课程改革实验教材数学第13册第4章中《对图形的认识》，它实际上是“空间与图形”的最基本部分。教材在编排设计上是围绕认识基本几何体、发展学生空间观念展开的，在过程上是让学生经历图形的变化、展开与折叠等数学活动过程的，在活动中引导学生认识常见的几何体以及点、线、面和一些简单的平面图形，通过对某些几何体的主视图、俯视图、左视图的认识，在平面图形与立体图形的转化中发展学生的空间观念。在授课过程中要特别注意图形的转化思想的渗透，在实际操作中，因为大部分学生在小学时就积累一定的感性处理方法，我们要注意的就是在学生原有知识结构的基础上，将其上升为理论高度，引导学生归纳概括得出一般性的结论：在初中阶段，绝大部分立体图形的问题都可以转化为平面图形的问题，从而使学生真正体会到立体与平面的相互转化思想。
又如在解方程组时，通过消元这个手段，把二元一次方程组转化为一元一次方程去解；在解多边形问题时，又是通过添加辅助线这个手段，把多边形的问题转化为三角形的问题加以解决等等。数学中的有理数和无理数、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和变量、整体和局部等处处都蕴涵着转化这一辩证思想。因此，在初中数学教学中，应有意识地渗透转化思想。如在学习分式方程时，不能只简单介绍分式方程的概念和解法，教学时，应让学生充分经历整式方程与分式方程的观察、比较、分析、探索过程，启发学生说出分式方程的解题基本思想，学生在经历了充分的探索后，自然认识到：通过把分式方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，就可以把分式方程转化为整式方程，学生感悟到分式方程与整式方程概念和解法的实质后，会收到一种居高临下，深入浅出的教学效果。因此，在初中数学教学中，要注重渗透转化思想，可以说转化思想是科学世界观在数学中的体现，是最重要的数学思想之一，不仅可以培养学生的科学意识，而且可以提高学生的观察能力、探索能力和分析解决问题的能力。
（二）渗透数形结合的思想方法，提高学生的数形转化能力和迁移思维的能力
恩格斯曾说过：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。而“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。“数”是数量关系的体现，而“形”则是空间形式的体现。它们两者既有对立的一面，又有统一的一面。我们在研究数量关系时，有时要借助于图形直观地去研究，而在研究图形时，又常常借助于线段或角的数量关系去探求。数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。数和式是问题的抽象和概括、图形和图像是问题的具体和直观的反映。因此，数和形是研究数学的两个侧面，利用数形结合，常常可以使所要研究的问题化难为易，使复杂问题简单化、抽象问题具体化。正如著名数学家华罗庚所说的那样：“数无形，少直观，形无数，难入微”，这句话阐明了数形结合思想的重要意义。
在初中代数列方程解应用题教学中，很多例题都采用了图示法进行分析，在教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性，引导学生从图形上发现数量关系，找出解决问题的突破口，学生掌握了数形结合这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值，对解决问题更具有指导意义。
又如，计算：1+3=？1+3+5=？1+3+5+7=？1+3+5+7+9=？并根据计算结果，探索规律。
数学思想方法与初中数学教学
在这道题的教学中，首先应让学生思考：从上面这些算式中你能发现什么？让学生经历观察（每个算式和结果的特点）、比较（不同算式之间的异同），归纳（可能具有的规律）、提出猜想的过程。在探索过程中鼓励学生进行相互合作交流，提供如下的帮助：列出一个点阵，用图形的直观来帮助学生进行猜想。这就是典型的把数量关系问题转化到图形中来完成的题型，充分体现了数形结合思想。
再如在讲“圆与圆的位置关系”时，可自制圆形纸板，进行运动实验，让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系，然后可激发学生积极主动探索：两圆的位置关系反映到数上有何特征？这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想，在教学中要不失时机地渗透，这样不仅可以提高学生的迁移思维能力，还可以培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。
此外，数学教学中，我们正是借助数形结合的载体——数轴，学习研究了数与点的对应关系，相反数、绝对值的定义，有理数大小比较的法则等，利用数形结合思想大大减少了引进这些概念的难度。数形结合思想的渗透不能简单的通过解题来实现和灌输，应该落实在课堂教学的学习探索过程中，我在讲“相反数”这节课时，首先提出问题：“在上体育课时，体育李老师请小明和小强分别站在李老师的左右两边（三人在同一条直线上），并与李老师相距1米。你能说出小明、小强与李老师的位置关系有什么相同点和不同点吗？如果李老师所站的位置是数轴的原点，你能把小明、小强所站的位置用数轴上的点A、B表示出来吗？它们在数轴上的位置有什么关系？”
数学思想方法与初中数学教学
让学生动手实践，在数轴上分别确定表示这些数的点。 观察并思考：这些点在位置上有怎样的特征。引导学生归纳总结，形成相反数的概念，在此基础上继续提出问题：若两个数互为相反数，从“数、形”的角度看，它们有什么相同点和不同点呢？学生思考得到：从“数”的角度看：若两个数互为相反数，则只有符号不同。教师强调：只有、两个、互为。从“形”的角度看：相同点是它们到原点的距离相等；不同点是两个点分别在数轴原点的两侧。之后，我进一步引导学生观察数轴，是否所有的相反数都成对出现？有特殊的吗？学生通过讨论得出：除0以外，相反数是成对出现的。本节课借助数轴，帮助学生理解相反数的概念，进一步渗透数形结合的思想。教学中，从学生身边的生活实例入手，先从互为相反数的两数在数轴上的特征，即它们分别位于原点的两旁，且与原点距离相等的实例出发，让学生带着问题观察数轴上的点，鼓励学生用自己的语言说出猜想，揭示这两数的几何形象。充分利用计算机课件的直观性帮助学生验证猜想，增强对相反数概念的感性认识，充分利用数轴帮助思考，把一个抽象的相反数的概念，化为直观的几何形象。在这种情况下给出互为相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数。特别地规定：0的相反数是0。学生从“数”和“形”两个方面认识相反数概念的本质特征，体会数形结合的思想，显得自然亲切，水到渠成，同时也让学生在数形结合的思想方法的引领下感受到了成功，初步领略和尝试了它的功用，是一个非常好的渗透背景。